一、一般計算

設離心轉(zhuǎn)頭以勻角速度ϖ在離心室中等速旋轉(zhuǎn)，懸浮在離心管或轉(zhuǎn)頭中溶劑內(nèi)的顆粒（被分離的）的密度為σ，溶劑（或梯度材料）的密度為ρ，粘性系數(shù)為η。
顆粒所在位置與旋轉(zhuǎn)中心距離r,顆粒本身體積為V。根據(jù)經(jīng)典的牛頓力學基本原理，質(zhì)量為m的顆粒受到的離心力為：

用 N=rpm=轉(zhuǎn)/分來表示

定義 RCF（相對離心場）為實際離心加速度化成重力加速度的倍數(shù)則有：

式中 g為重力加速度，（×g）表示重力加速度的倍數(shù)。式中ｒ用厘米表示。

（3）式為應用昀廣的相對離心加速度公式，是離心技術中的重要技術參數(shù)。又設顆粒為球形直徑為 d（厘米）（非球形顆粒計算可修正），在沉降方向受到的離心力與浮力之和為

以沉降速度 v在溶液中運動的顆粒受到流體的反向摩擦阻力為 f,根據(jù)粘性流體力學的 stokes定理：

如果顆粒以勻速沉降則 F1=f 計算簡化后

定義 S為單位離心加速度的沉降速度

我們稱 S為沉降系數(shù)，S值單位為秒-1，由于顆粒直徑很�。ㄎ⒚字梁廖⒚准墸� S值也很小，一般以10^-13為一個基本計算單位S，為了紀念離心技術早期（1920~1940）的奠基人Svedberg，而把 S稱為 Svedberg常數(shù)。在生物學各種論文常見的某物質(zhì)沉降系數(shù)為多少個 S，即指此單位。

二、各種離心方法（差分，速率一區(qū)帶，等密度等）中樣品顆粒的沉降行為：
分析（6）式
若 σ > ρ則 v >0, S>0, 顆粒順離心力方向沉降。
若 σ = ρ則 v = 0, S=0,顆粒沉降或上浮到某一位置達到平衡。
若 σ < ρ則 v <0, S<0,顆粒逆離心力方向上浮。
這個簡單的分析很好地解釋了樣品顆粒用各種離心方法分離時的沉降行為。在差分離心中，樣品顆粒按照他們的密度大于或小于溶液密度而沉降（昀后變?yōu)槌恋恚┗蛏细。ㄗ兂缮细∥�，浮在液面）；在速率一區(qū)帶離心中由于梯度液所設計的昀大密度小于樣品顆粒（各種組份）密度而使混合樣品中不同組份顆粒按不同沉降速度以不同純樣品區(qū)帶方式沉降，而離心時間控制在昀重的樣品變或沉淀之前停機，使不同組份以純樣品帶方式存在于梯度液之中而達到分離純化的目的；在等密度離心中在梯度液上部，下部或混合在梯度液中的樣品各個不同組份按它們的密度不同在離心力作用下沉降或上浮到各自的等密度區(qū)（ σ = ρ ,v = 0）形成純樣品區(qū)帶。
與公式（6）（離心場）對照的是在地球引力場中

比較（ 6）、（8）由于目前離心技術的進展，實驗離心機所產(chǎn)生的離心加速度已達到重力加速度數(shù)萬甚至一百多萬倍（目前昀高為 105萬倍），因而，與重力場的自然沉降相比，樣品顆粒的沉降速度也相應加快了同樣的倍數(shù)。這樣就使得很多直徑為微米級或更小的生物體組份可以利用各種類型的離心機在數(shù)分鐘至數(shù)十小時的時間內(nèi)被分離純化，對于非球形顆粒，沉降時間可以用經(jīng)驗公式進行修正[見（四）部分 ].

三、在不同介質(zhì)中樣品沉降系數(shù)的換算

為了便于比較，將任意介質(zhì)中的S統(tǒng)一校正到 20℃水中的S，設某個溫度t某個介質(zhì)m的沉降系數(shù)為S_tm

也可以表達為

四、沉降時間計算：

（1）、一般分析

沉降時間可以對t的積分求得：

設顆粒起始位置的r_min，沉降終了位置為 r_max，從 r_min沉降到 r_max所需要的時間為：

很明顯如果給出了沉降時間就可以算出沉降系數(shù)：

對現(xiàn)代離心機，ω² Ts在離心過程中可自動計算，這樣計算就十分簡單，針對（11）式，如果把S化為 Svedberg單位，r用厘米表示，ω化為 N（轉(zhuǎn)/分）并將Ts化成小時則有

計算時要注意 S值應該是在離心溫度時特定介質(zhì)中的沉降系數(shù)。
對于特定轉(zhuǎn)頭，當轉(zhuǎn)速選定后樣品的初始及終了位置已定（如用差分法，樣品沉降到底部）則：

而對于選定轉(zhuǎn)頭，可以知道他們的最高轉(zhuǎn)速為N，于是，定義K為轉(zhuǎn)子常數(shù)

目前在離心機轉(zhuǎn)頭說明書上都列出了轉(zhuǎn)子的 K值，它是指在該轉(zhuǎn)子昀高轉(zhuǎn)速運轉(zhuǎn)時，根據(jù)轉(zhuǎn)子幾何尺寸定下的 rmax和 rmin算出的，K值越小對同一樣品離心時間越短。
比較（12）、（13）式：

這個簡單公式常用于估算離心時間。式中 S可由計算算出也可按文獻中以測定類似物的估計值算出。
如果我們不選用該轉(zhuǎn)頭昀高轉(zhuǎn)速而用一個實際轉(zhuǎn)速，則有：

對同一樣品在不同K值時沉降時間：

（14）式中S是對球形顆粒計算出的，對非球形顆粒，沉降中受到的流體阻力較大（沉降中非球形顆粒是無規(guī)則懸浮在離心介質(zhì)中）。
假設我們計算中采用的是球形樣品的計算值，我們可以把非球形樣品簡化成長、段半徑之比為C的橢球體，而橢球體的沉降時間與球體沉降時間Ts之間關系可表達為

k與 c的關系按經(jīng)驗公式列出

（2）等密度離心的沉降時間計算

（Ⅰ）自形成梯度（平衡等密度離心）離心時間計算
在這類離心中樣品和梯度液混合，離心過程中梯度液在離心力作用下形成密度梯度，與此同時，樣品中各個組份沉降或上浮，向自己的等密度區(qū)靠攏昀后形成純樣品區(qū)帶，這樣的離心所需時間為

式中： N：實際轉(zhuǎn)速（轉(zhuǎn)/分）
           ρ_P 樣品需要達到的密度
           r_p從旋轉(zhuǎn)軸心沉降到等密度帶的距離
           β⁰：取決于梯度材料及溶液初始密度的常系數(shù)（β⁰值參見文獻 4）

計算舉例：
設：某種天然DNA的 CsCI平衡等密度離心（自形成梯度）
初始密度：1.70克/厘米³，據(jù)參考文獻查出β⁰=1.14×10⁹
樣品S_{（20，W）⁼}9， N=40,000(轉(zhuǎn)/分)
選用某甩平轉(zhuǎn)頭r_p=10厘米，ρ_P =1.71克/厘米³

于是：

若轉(zhuǎn)速降為 35000轉(zhuǎn)/分，T=58.9（小時）
若使用某近垂直管轉(zhuǎn)頭，并在CsCI中加 E.B及Triton-X100則初始密度為1.55克/厘米³，選用轉(zhuǎn)速 78000轉(zhuǎn)/分，可以算出T=4（小時)．
如改用某個垂直管轉(zhuǎn)頭，N=100,000轉(zhuǎn)/分
可算出 T=1.83小時（約等于1小時 50分）．

（Ⅱ）予形成梯度的沉降時間計算
浮在梯度液上表面的樣品在離心力作用下穿過梯度層到達其等密度線上沿所用時間為（小時）：

式中：r_t梯度試驗液上表面到旋轉(zhuǎn)中心距離（厘米）、 梯度在r處斜率，其他符號含義同（17）

計算舉例：

設：甩平轉(zhuǎn)頭，N=30,000轉(zhuǎn)/分，ρ_r =1.70克/厘米3，r_p=10厘米，r_t=6.4厘米。

則有： = 0.36 （梯度線傾角 20°）

         S20W=15
代入，T=14.7（小時）
若改用某垂直管轉(zhuǎn)頭：N=90000轉(zhuǎn)/分，r_ρ=6.6厘米， r_t=6厘米其他條件不變可算出T=1.42小時（約為 1小時 25分）

（18）式也可以用于計算速率一區(qū)帶密度梯度離心所需時間。只是 =常數(shù)，即梯度為線性或近似線性分布r_ρ為樣品到達某一預期密度(ρ_ρ)處的離心的半徑。

五、沉降系數(shù)的近似計算

（Ⅰ）利用速率一區(qū)帶密度梯度離心作沉降系數(shù)的近似計算；
用超速（ 40000~42000轉(zhuǎn)/分）細長離心管（ 10~13毫升，離心管長 9~10厘米）選用線性梯度或凸指數(shù)梯度（可以提高在較高密度區(qū)的分辨率）。

測定樣品在相同的離心條件下（溫度、轉(zhuǎn)速、加減速速率，轉(zhuǎn)頭、離心管樣品量，梯度材料及梯度曲線等等）以不同沉降時間離心數(shù)次，測出沉降帶的位置（昀好用梯度儀抽出，經(jīng)蠕動泵至帶流動池的分光光度計檢測某一純樣品帶的位置，昀后用部分收集器收集）即可計算 S值。不同的離心時間（如 t₂,t₁），代入ω (角速度)，r為軸心至沉降面距離（厘米）、t為離心時間用分表示。
用移動界面法，分析用超速離心機或帶分析附件的制備用超速離心機，從照相的紋影（schlieren）圖上用比長儀測定（界面）的位置，以log r對t作圖，可以求得直線斜率：

從中算出 S值。
如果 log r－t不是直線，則可以分別求每個時間的S值然后作s-t圖，并外延至t=0時的S作為計算標準。當然，S也要化成 S_20.W。

（Ⅱ）某些生物大分子的沉降系數(shù)與分子量之間關系時經(jīng)驗公式：

六、轉(zhuǎn)子常數(shù)：在計算沉降時間公式（12）中我們曾引入轉(zhuǎn)子常數(shù)K（公式 13）。離心機說明書上繪出的 K值是指該轉(zhuǎn)頭在昀高轉(zhuǎn)速時從r_min沉降到r_max時的K值。實際上我們一般不用N實際，而沉降也往往是從某初始位置rl沉降到終了位置 r2.
于是在這種情形中

對于同類轉(zhuǎn)頭，K值越小，使用價值越高，在選擇離心條件時有更大的余地。對不同類別的轉(zhuǎn)頭，由于它們的特點和用途不同，K值是衡量轉(zhuǎn)頭性能的一個因素。
由于轉(zhuǎn)頭在容量上的差異，使它們的綜合利用價值不局限于K值。我們近可以引入另一個系數(shù) L：

式中 V_R為轉(zhuǎn)子各離心管名義容量的總和，用厘米³表示，同類轉(zhuǎn)子的價值差異，除了材料加工等因素外還要取決于 L值，L越小，價值越高。
在歐洲還常常用Pi值來表達轉(zhuǎn)子的性能

七、分子量計算：

已知沉降系數(shù)，可以用經(jīng)驗公式計算分子量，反之亦然［五節(jié)之（Ⅱ）］也可以用超離心法先求得沉降系數(shù)，擴散系數(shù)，再來計算分子量。
設在溶劑內(nèi)懸浮的樣品顆粒在離心場中有效質(zhì)量為m，角速度ω，瞬時回轉(zhuǎn)半徑r , 沉降速度為υ，在粘性流體中勻速沉降的摩擦系數(shù)為 fo。
根據(jù)力學平衡原理：

由于顆粒懸浮在溶液中設其真實質(zhì)量為m_r ,σ為顆粒密度ρ為溶劑密度，于是有

參考文獻：

[1] Fujita,H.“Mathematical theory of Sedimentation analysis” A cademic press.New York 1962

[2] Steensgaard.J等“Methodological developments in biochemistry”vol:4,P67,1974

[3] S.P.Spragg等“Theoretical aspects of practical centrifugation”IRL press. Oxford Uni.Press(1992)

[4] 余興明“質(zhì)粒 DNA的超速離心分離”生命的化學 vol:14 No:1 pp11~15 1994

作者：余興明   電話：13764301893,yuxingming@techcomp.cn